[0001] 费尔马大定理数学模型，这个发明，涉及数学教学和数学研究领域，旨在解决数学的教学、研究和科普过程中对费尔马大定理的认识问题。

[0002] 费尔马大定理是一道具有400年证明历史的国际数学难题，本发明把费尔马大定理叙述成下面的形式。

[0003] 费尔马大定理在x、y、z、n四个正整数中，如果n＞2，那么xn+yn≠zn。

[0004] 在国际数学历史上，证明费尔马大定理，存在费尔马证明和怀尔斯证明的两个证明，公元一十七世纪，费尔马(1601‑1665)在古希腊数学家丢番图著拉丁文版《算术》一书上记载他发现和证明费尔马大定理的说法；1986年至1994年，英国籍的美国数学家怀尔斯
(1954‑)用了八年时间完成了对费尔马大定理的证明，但是，怀尔斯证明很难，全世界能读
懂怀尔斯证明的数学家不足200人，因此，费尔马大定理证明和怀尔斯证明不能用于数学教
学。

[0005] 发明人在2015年1月至2016年5月期间，发明了《费尔马大定理演示模型》，是直接演示费尔马大定理成立的教具，2016年7月31日，向国家知识产权局专利局提交了发明专利
申请文件；2020年5月，发明人完成最后一次答辩，国家知识产权局于2020年7月28日颁发了
《费尔马大定理演示模型》发明专利证书，专利号：ZL201610633012.7；授权公告号：
CN107919040B。

[0006] 从2020年8月开始，发明人开始研究开展对费尔马大定理进行数学科学普及的问题；通过一年的努力，发明人应用加法交换侓，省去x＞y，仅研究x＜y，减少证明工作量的一半；在定义费尔马不等式的基础上，发现了边界不等式，应用数学归纳法，严格地证明了判
定左边界不等式和下边界不等式的不同性质的5个数学定理，用来直接判定费尔马大定理
成立，从而把证明费尔马大定理的工作总量进一步大量减少，仅用牛顿二项式定理完成对
剩余部分的证明，写出《费尔马大定理的初等证明》一文，约1万字，中学生能读懂。

[0007] 在发明过程中，应用加法交换侓，在x＞y时有xn+yn≠zn和在x＜y时有xn+yn≠zn中，n n n只需证明其中的一种情况；事实上，如果在x＜y时有x+y ≠z成立，那么，把加号前后的x和
n n n n n
y对调，根据加法交换侓，直接判断x＞y时有x+y≠z也成立，特别地，当x＝y时，有2x≠z
n n
和2y≠z都成立；所以，应用加法交换律证明费尔马大定理，减少证明工作量的一半；应用
左边界不等式和下边界不等式，又减少费尔马大定理证明的巨大工作量；公元1770年，德国
数学家高斯证明了费尔马大定理当n＝3时成立的结论；直接应用公元1770年德国人证明费
尔马大定理当n＝3时成立的结论，跟本发明所述左边界不等式和下边界不等式结合应用，
就形成了本发明发明费尔马大定理数学模型的基础理论和数学模型的基本条件。

[0008] 在此基础上，考虑初中生应用代数式的乘法公式、高中生应用牛顿二项式定理来证明费尔马大定理，既有利于学生接受，又有利于开展数学科学普及活动。

[0009] 比如，由53＜43+53＝64+125＜53+75+15+1＝53+3×52×11+3×51×12+13＝(5+1)3＝3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6，得5＜4+5＜6 ，等价于4+5≠1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10 ，11 ，12，13，……，就是
3 3 3 n n n
4+5≠z ，z是正整数，使得费尔马大定理的结论x +y ≠z ，当x＝4、y＝5、n＝3时成立，表明：应用乘法公式和牛顿二项式定理都可以证明费尔马大定理，有利于中学数学教学。

[0010] 在探究过程中，发明人根据13＜13+13＜23，合情推理，得到y3＜13+y3＜(y+1)3一定n n n n成立，这里，y＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，是正整数，进一步推出y＜1+y＜(y+1)一定成立，这里，y＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，是正整数；n＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，……，
3 3 3 3 3 3 3 3
是大于2的正整数，也就是说，由1＜1+1 ＜2和y ＜1+y＜(y+1) 判断有无穷多的不等式
3 3 3 3 n n n n n n n
都成立，由1 ＜1+1＜2和y＜x+y＜(y+1) 判断更多的无穷尽的费尔马不等式y＜x+y
n
＜(y+1) 都成立，其中，y＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，是正整数，当x＝1时，进一步判断费
3 3 3 3 3 3 3 3
尔马大定理成立；同理：发明人根据5＜4+5＜6 ，合情推理，得到y＜4+y＜(y+1) 一定成
立，这里，y＝5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，……，是大于4的正整数；进一n n n n
步推出y ＜1+y ＜(y+1) 一定成立，这里，y＝5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，
19，……，是正整数，n＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，……，是大于2的正整数，也就是说，
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
由5＜4+5＜6和y ＜4+y＜(y+1) ，判断对于y的无穷尽的不等式都成立，由5＜4+5 ＜
3 n n n n
6和y＜4+y＜(y+1) ，判断对于y和n的更多的无穷尽的不等式都成立，进一步判断费尔马
大定理成立。

[0011] 发明人发现了边界不等式，直接判断费尔马大定理成立，发明人认为，根据这个发现，在不影响创造性的基础上，研制比《费尔马大定理演示模型》发明专利更好的教具，用来开展数学教学，使得读者直接看出费尔马大定理成立，形成演示费尔马大定理的数学模型。

[0050] 本发明的详细结构、应用原理、作用与功效，参照图1至图21，通过如下的实施方案，予以进一步说明。

[0051] 参见图5，制作如图5所示的费尔马不等式板4，直接排版刻印，比较麻烦，容易出错，为避免生产有错误的产品，本发明使用计算机模板替换修改法，设计制作方法如下。

[0052] 计算机模板替换修改法：在计算机中，设计一个有1列15行的矩形方格，矩形方格3 3 3
的尺寸、位置和形状，以及由长和高确定的前表面印刷的费尔马不等式[m] ＜[x] +[y] ＜
3
[m+1]的1列15行的15个矩形方格的尺寸、位置和形状，跟由坐标(8，8，3)确定的费尔马不
等式板4相同，在计算机模板替换修改法中，方法的主要技术内容，包括以下3点。

[0053] 第一、设计带方括号“[]”标记字母的模板：把用于变换数值的字母m、x、y和代数式m+1用方括号“[]”作标记，将各表格内的坐标(x，y，n)设计成坐标([x]，[y]，n)，将n次方幂n n n n 3 3 4 4 5和式x+y 设计成[x] +[y] ，根据指数不同的需要，连续变换成[x] +[y] ，[x]+[y] ，[x] +
5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12
[y] ，[x] +[y] ，[x]+[y] ，[x]+[y] ，[x]+[y] ，[x] +[y] ，[x] +[y] ，[x] +[y] ，[x
13 13 n n n n n n
] +[y] ，……，[x]+[y] ，……，将费尔马不等式m ＜x+y ＜(m+1) 设计成费尔马不等式
n n n n 3 3
[m]＜[x]+[y]＜[m+1] ，根据指数不同的需要，连续变换成费尔马不等式[m]＜[x]+[y
3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6
]＜[m+1] ，[m] ＜[x] +[y]＜[m+1] ，[m]＜[x]+[y] ＜[m+1] ，[m] ＜[x]+[y]＜[m+1
6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10
]，[m]＜[x]+[y]＜[m+1] ，[m]＜[x]+[y]＜[m+1] ，[m]＜[x]+[y]＜[m+1] ，[m] ＜
10 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 13
[x] +[y] ＜[m+1] ，[m] ＜[x] +[y] ＜[m+1] ，[m] ＜[x] +[y] ＜[m+1] ，[m] ＜
13 13 13 n n n n
[x] +[y] ＜[m+1] ，……，[m]＜[x]+[y]＜[m+1]，……。

[0054] 第二、在模板中用数字替换带方括号“[]”标记字母：在计算机中，复制若干个模板，在坐标([x]，[y]，n)中，用2替换[x]，用27替换[y]，就得到坐标(2，27，n)；在费尔马不等n n n n 3 3 3 3
式[m]＜[x] +[y]＜[m+1]和[m] ＜[x]+[y] ＜[m+1]中，用73替换[m]，用74替换[m+1]，
n n n n 3 3 3 3
用58分别替换[x]、[y]，就得到费尔马不等式73＜58+58＜74 和73＜58+58＜74 ，其他
指数不同的n次方幂和与指数不同的费尔马不等式，实质都是替换底数，替换方法相同。

[0055] 第三、在模板中对替换错误的修改：在一批费尔马不等式的替换模板中，进行一键替换，切实可行；但是在某些费尔马不等式板4上，并不都是m＝y时的边界不等式的情形，有把费尔马不等式中m＞y时的情形，都替换成了m＝y时的情形，对于这种情形，就要在替换以
后进行修改；分两种情形，先替换后修改，先对[m]、[m+1]、[x]、[y]进行替换，再把替换过程中使[m]变小的错误和使[m]变大的错误的费尔马不等式，修改成正确的费尔马不等式；先
修改后再替换，先将[m]＞[y]的费尔马不等式进行修改，然后，对修改后剩下的其他带方括
号“[]”标记的字母[m]、[m+1]、[x]、[y]，用数字进行替换。

[0056] 参见图7，图7是本发明的费尔马不等式板4制作模板的结构示意图。

[0057] 在图7中的费尔马不等式板4制作模板的结构中，主要是表格的形状、表格内的代数式和费尔马不等式中用带方括号“[]”标记的字母[m]、[m+1]、[x]、[y]，便于批量替换，形成费尔马不等式板4制作的两道工序。

[0058] 第一步，费尔马不等式板4制作模板的表格的形状：

[0059] 在计算机中，设计一个有1列15行的长方形中的15矩形方格，矩形方格的尺寸、位置和形状，跟图5所示的在坐标(8，8，3)确定的费尔马不等式板4中，由长和高确定的前面印刷的1列15行的矩形方格的尺寸、位置和形状相同；竖排成1列的15个矩形方格的长度相同，
从下往上，第1个矩形方格的高度小于第2个矩形方格的高度，第1个矩形方格的高度等于在
盖板3上安装费尔马不等式板4时的长方体形沟槽的深度，第2个矩形方格至第15个矩形方
格的高度都相等，都大于第1个矩形方格的高度，都等于第2个矩形方格的高度。

[0060] 第二步，费尔马不等式板4制作模板的代数式与不等式：

[0061] 在如图7所示的费尔马不等式板4制作模板的矩形方格内，输入的坐标、代数式和不等式中的字母，都是用带方括号“[]”作标记的字母，从下往上数，第1个矩形方格的高度确定费尔马不等式板4插入盖板3的深度，位置由第1个矩形方格内着黑色的坐标([x]，[y]，
n)确定，位于盖板3的上表面往下至盖板3的下表面之间；在第2个矩形方格内，上部是模板
3 3 3 3
上的三次方幂和式[x]+[y] ，着黑色，[x]+[y]的两方各设计了一颗着红色五星“★”的标
3 3 3
记，用于表示下边界不等式，下部是模板上的三次费尔马不等式是[m] ＜[x] +[y] ＜[m+1
3 4 4
] ，着绿色；在第3个矩形方格内，上部是模板上的四次方幂和式[x]+[y] ，着黑色，下部是
1 1 1 1
模板上的四次费尔马不等式[m]＜[x]+[y] ＜[m+1] ，着绿色；在第4个矩形方格内，上部
5 5 5
是模板上的五次方幂和式[x] +[y] ，着黑色，下部是模板上的五次费尔马不等式[m]＜[x
5 5 5 6 6
]+[y]＜[m+1] ，着绿色；在第5个矩形方格内，上部是模板上的六次方幂和式[x]+[y] ，下
6 6 6 6
部是模板上的六次费尔马不等式[m] ＜[x] +[y] ＜[m+1] ，着绿色；在第6个矩形方格内，
7 7 7
上部是模板上的七次方幂和式[x]+[y] ，着黑色，下部是模板上的七次费尔马不等式[m]
7 7 7 8 8
＜[x]+[y]＜[m+1] ，着绿色；在第7矩形方格内，上部是模板上的八次方幂和式[x]+[y]，
8 8 8 8
着黑色，下部是模板上的八次费尔马不等式[m] ＜[x] +[y]＜[m+1] ，着绿色；在第8个矩
9 9
形方格内，上部是模板上的九次方幂和式[x]+[y] ，着黑色，下部是模板上的九次费尔马不
9 9 9 9
等式[m]＜[x]+[y]＜[m+1] ，着绿色；在第9个矩形方格内，上部是模板上的一十次方幂
10 10 10 10 10 10
和式[x] +[y] ，着黑色，下部是模板上的一十费尔马不等式[m] ＜[x] +[y] ＜[m+1] ，
11 11
着绿色；在第10个矩形方格内，上部是模板上的一十一次方幂和式[x] +[y] ，着黑色，下
11 11 11 11
部是模板上的一十一次费尔马不等式[m] ＜[x] +[y] ＜[m+1] ，着绿色；在第11个矩形
12 12
方格内，上部是模板上的一十二次方幂和式[x] +[y] ，着黑色，下部是模板上的一十二次
12 12 12 12
费尔马不等式[m] ＜[x] +[y] ＜[m+1] ，着绿色；在第12个矩形方格内，上部是模板上的
13 13 13
一十三次方幂和式[x] +[y] ，着黑色，下部是模板上的一十三次费尔马不等式[m] ＜[x
13 13 13
] +[y] ＜[m+1] ，着绿色；在第13个矩形方格内，中部是由一列黑点横排的一行省略号
n n
“…………”；在第14个矩形方格内，上部是模板上的n次方幂和式[x]+[y] ，着黑色，下部是n n n n
模板上的n次费尔马不等式[m]＜[x]+[y]＜[m+1] ，着绿色；在第15个矩形方格内，上部
是着绿色的坐标([x]，[y]，n)，下部是用着绿色的点横排的一行省略号“…………”。

[0062] 参见图7，在计算机中，应用费尔马不等式板4制作模板，设计应用费尔马不等式板4制作模板的输出文件，以下简称“输出文件”；完善输出文件，分以下五步进行：

[0063] 第一步，在计算机的输出文件中，设计制作模板分布的方式：先设计13个长方形，竖排成一列，按顺序编号，从上往下的顺序数是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，每个长方形能置入如图7所示的横排的13个费尔马不等式板4制作模板的示意图。

[0064] 第二步，在计算机的输出文件中，设计第1行内分布的13个制作模板样式：复制如图7所示的费尔马不等式板4制作模板，在计算机的输出文件中，利用编号为1的长方形，从
左往右，连续粘贴13次的费尔马不等式板4制作模板，得到在编号为1的这个长方形中横排
成一行的13个全等的如图7所示的费尔马不等式板4制作模板。

[0065] 第三步，在计算机的输出文件中，确定编号为1的长方形内的13个费尔马不等式板4上的不变数据：在编号为1的长方形中，对于从左往右横排的13个费尔马不等式板4制作模
板，在第1个费尔马不等式板4制作模板中，用1替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和
“[y]”，用2替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第2个费尔马不等式板4制作模板中，用2替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和“[y]”，用3替换带方括号“[]”标记的字母“[m+
1]”；在第3个费尔马不等式板4制作模板中，用3替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和
“[y]”，用4替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第4个费尔马不等式板4制作模板中，用4替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和“[y]”，用5替换带方括号“[]”标记的字母“[m+
1]”；在第5个费尔马不等式板4制作模板中，用5替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和
“[y]”，用6替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第6个费尔马不等式板4制作模板中，用6替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和“[y]”，用7替换带方括号“[]”标记的字母“[m+
1]”；在第7个费尔马不等式板4制作模板中，用7替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和
“[y]”，用8替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第8个费尔马不等式板4制作模板中，用8替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和“[y]”，用9替换带方括号“[]”标记的字母“[m+
1]”；在第9个费尔马不等式板4制作模板中，用9替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和
“[y]”，用10替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第10个费尔马不等式板4制作模板中，用10替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和“[y]”，用11替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第11个费尔马不等式板4制作模板中，用11替换带方括号“[]”标记的字母
“[m]”和“[y]”，用12替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第12个费尔马不等式板4制作模板中，用12替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和“[y]”，用13替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；在第13个费尔马不等式板4制作模板中，用13替换带方括号“[]”标记的字母“[m]”和“[y]”，用14替换带方括号“[]”标记的字母“[m+1]”；由此得到输出文件中编号为1的长方形中，用于一次最多输出横排成一行的13个费尔马不等式(4)制作模板。

[0066] 第四步，在计算机的输出文件中，完成13行169个的费尔马不等式板4制作模板：复制编号为1的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板，从上往下，在编号为2的长方形至
编号为13的长方形内，各粘贴一次，在第1行至第13行内，都得到横排成一行的13个费尔马
不等式板4制作模板。

[0067] 第五步，在计算的输出文件中的169个费尔马不等式(4)制作模板中，删去78个，确定剩下的91个费尔马不等式板4的制作：利用输出文件编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，
12，13的长方形中，都有的13个相同的费尔马不等式板4制作模板，应用计算机模板替换修
改法和制作工序，完成本发明需要安装的91块费尔马不等式板4的制作。

[0068] 参见图8，图8是本发明安装在盖板3上第1行的13块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0069] 在图8中，13块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为1的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，在第1个至第13个的13个费尔马不等
式板4制作模板中，用1替换制作模板中所有带方括号“[]”标记的字母“[x]”，由此得到坐标为(1，1，n)，(1，2，n)，(1，3，n)，(1，4，n)，(1，5，n)，(1，6，n)，(1，7，n)，(1，8，n)，(1，9，n)，(1，10，n)，(1，11，n)，(1，12，n)，(1，13，n)的13块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第1行的第1列至第13列的13块费尔马不等式板4的结构示
意图，这里，在中部省略了y＝5，6，7，8，9，10的6块。

[0070] 参见图9，图9是本发明安装在盖板3上第2行的12块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0071] 在图9中，12块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为2的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边的第1个费尔马不等式板4制
作模板，在第2个至第13个的12个费尔马不等式板4制作模板中，用2替换制作模板中所有带
方括号“[]”标记的字母“[x]”，由此得到坐标为(2，2，n)，(2，3，n)，(2，4，n)，(2，5，n)，(2，
6，n)，(2，7，n)，(2，8，m)，(2，9，n)，(2，10，n)，(2，11，n)，(2，12，n)，(2，13，n)的12块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第2行的第2列至第13
列的12块费尔马不等式板4的结构示意图，这里，在中部省略了y＝6，7，8，9，10的5块。

[0072] 参见图10，图10是本发明安装在盖板3上第3行的11块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0073] 在图10中，11块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为3的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个和第2个的2个费尔
马不等式板4制作模板，在第3个至第13个的11个费尔马不等式板4制作模板中，用3替换制
作模板中所有带方括号“[]”标记的字母“[x]”，由此得到坐标为(3，3，n)，(3，4，n)，(3，5，n)，(3，6，n)，(3，7，n)，(3，8，n)，(3，9，n)，(3，10，n)，(3，11，n)，(3，12，n)，(3，13，n)的11块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第3行的第3列
至第13列的11块费尔马不等式板4的结构示意图，这里，在中部省略了y＝7，8，9，10的4块。

[0074] 参见图11，图11是本发明安装在盖板3上第4行的10块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0075] 在图11中，11块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为4的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第3个的3个费尔
马不等式板4制作模板，在第4个制作模板中，从下往上，把第2个矩形方格内的1个费尔马不
3 3 3 3
等式修改成5＜4+4 ＜6 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，
平移至第3个矩形方格内的相应位置；在第4个至第13个的10个费尔马不等式板4制作模板
中，用4替换制作模板中修改一个费尔马不等式后剩下的其他所有带方括号“[]”标记的字
母“[x]”，由此得到坐标为(4，4，n)，(4，5，n)，(4，6，n)，(4，7，n)，(4，8，n)，(4，9，n)，(4，10，n)，(4，11，n)，(4，12，n)，(4，13，n)的10块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板
3上与三次函数板2接触的第4行的第4列至第13列的10块费尔马不等式板4的结构示意图，
这里，在中部省略了y＝8，9，10的3块。

[0076] 参见图12，图12是本发明安装在盖板3上第5行的9块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0077] 在图12中，9块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为5的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第4个的4个费尔马
不等式板4制作模板，在第5个制作模板中，从下往上，把第2个矩形方格内的1个费尔马不等
3 3 3 3
式修改成6＜5 +5 ＜7 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第3个矩形方格内的相应位置；在第5个至第13个的9个费尔马不等式板4制作模板中，
用5替换制作模板中修改一个费尔马不等式后剩下的其他所有带方括号“[]”标记的字母
“[x]”，得到坐标为(5，5，n)，(5，6，n)，(5，7，n)，(5，8，n)，(5，9，n)，(5，10，n)，(5，11，n)，(5，
12，n)，(5，13，n)的9块费尔马不等式板4，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第5行的第5列至第13列的9块费尔马不等式板4的结构示意图，这里，在中部省略了y＝9，10的2
块。

[0078] 参见图13，图13是本发明安装在盖板3上第6行的8块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0079] 在图13中，8块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为6的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第5个的5个费尔马
不等式板4制作模板，在第6个制作模板中，从下往上，把第2个和第3个矩形方格内的2个费
3 3 3 3 1 1 1 1
尔马不等式修改成7＜6+6＜8 ，7＜6+6＜8 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色
五星“★”向上平移，平移至第4个矩形方格内的相应位置；在第7个制作模板中，从下往上，
3 3 3 3
把第2个矩形方格内的1个费尔马不等式修改成8＜6+7＜9 ，都着红色，把第2个矩形方格
内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第3个矩形方格内的相应位置，然后，在第6个至第
13个的8个费尔马不等式板4制作模板中，用6替换制作模板中修改3个费尔马不等式后剩下
的其他所有带方括号“[]”标记的字母“[x]”，由此得到坐标为(6，6，n)，(6，7，n)，(6，8，n)，(6，9，n)，(6，10，n)，(6，11，n)，(6，12，n)，(6，13，n)的8块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第6行的第5列至第13列的8块费尔马不等式板4
的结构示意图，这里，在中部省略了(6，10，n)的1块。

[0080] 参见图14，图14是本发明安装在盖板3上第7行的7块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0081] 在图14中，7块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为7的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第6个的6个费尔马
不等式板4制作模板，在第7个制作模板中，从下往上，把第2个至第4个矩形方格内的3个费
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5
尔马不等式修改成8＜7 +7＜9，8＜7 +7＜9 ，8＜7 +7＜9 ，都着红色，把第2个矩形方
格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第5个矩形方格内的相应位置；在第8个至第10
个的制作模板中，从左往右，把3个制作模板中的第2个矩形方格内的3个三次费尔马不等式
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
修改成9＜7+8＜10 ，10＜7+9＜11 ，11＜7+10＜12，都着红色，把第8个至第10个的3
个制作模板中的第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”都向上平移，都平移至第3个矩形方
格内的相应位置；然后，在第7个至第13个的7个费尔马不等式板4制作模板中，用7替换制作
模板中修改6个费尔马不等式后剩下的其他所有带方括号“[]”标记的字母“[x]”，由此得
到坐标为(7，7，n)，(7，8，n)，(7，9，n)，(7，10，n)，(7，11，n)，(7，12，n)，(7，13，n)的7块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第7行的第7列至第
13列的7块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0082] 参见图15，图15是本发明安装在盖板3上第8行的6块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0083] 在图15中，6块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为8的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第7个的7个费尔马
不等式板4制作模板，在第8个制作模板中，从下往上，把第2个至第4个矩形方格内的3个费
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5
尔马不等式修改成10＜8+8＜11 ，9＜8+8＜10 ，9 ＜8+8＜10 ，都着红色，把第2个矩
形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第5个矩形方格内的相应位置；在第9个制
3 3 3
作模板中，从下往上，把第2个和第3个矩形方格内的2个费尔马不等式修改成10＜8+9 ＜
3 1 1 1 1
11，10＜8+9＜11 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第4个矩形方格内的相应位置；在第10个至第12个的3个制作模板中，从下往上，把第2个矩
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
形方格内的3个三次费尔马不等式修改成11＜8 +10＜12 ，12＜8+11＜13 ，13＜8+12
3
＜14 ，都着红色，把第8个至第10个的3个制作模板中的第2个矩形方格内各两颗红色五星
“★”都向上平移，都平移至第3个矩形方格内的相应位置；然后，在第8个至第13个的6个费尔马不等式板4制作模板中，用8替换制作模板中修改8个费尔马不等式后剩下的所有带方
括号“[]”标记的字母“[x]”，得到坐标为(8，8，n)，(8，9，n)，(8，10，n)，(8，11，n)，(8，12，n)，(8，13，n)的6块费尔马不等式板4，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第8行的第
8列至第13列的6块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0084] 参见图16，图16是安装在盖板3上第9行的5块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0085] 在图16中，5块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为9的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第8个的8个费尔马
不等式板4制作模板，在第9个制作模板中，从下往上，把第2个至第5个矩形方格内的4个费
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6
尔马不等式修改成11 ＜9+9＜12 ，10 ＜9+9＜11 ，10＜9+9＜11 ，10＜9+9＜11 ，都
着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第6个矩形方格内的相
应位置；在第10个和第11个的2个制作模板中，从下往上，把每个制作模板的第2个和第3个
3 3 3 3 4 4 4 4 3 3
矩形方格内各2个费尔马不等式分别修改成12＜9 +10＜13 ，11＜9 +10＜12 ，12＜9 +
3 3 4 4 4 4
11＜13 ，12 ＜9+11 ＜13 ，都着红色，分别把第2个矩形方格内各两颗红色五星“★”都向上平移，平移至第4个矩形方格内的相应位置；在第12个和第13个的2个制作模板中，从下往
3 3 3 3
上，把每个制作模板的第2个矩形方格内的1个费尔马不等式分别修改成13＜9+12＜14 ，
3 3 3 3
14＜9+13＜15 ，都着红色，分别把第2个矩形方格内各两颗红色五星“★”都向上平移，平
移至第3个矩形方格内的相应位置；然后，在第9个至第13个的5个费尔马不等式板4制作模
板中，用9替换制作模板中修改10个费尔马不等式后剩下的其他所有带方括号“[]”标记的
字母“[x]”，由此得到坐标为(9，9，n)，(9，10，n)，(9，11，n)，(9，12，n)，(9，13，n)的5块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第9行的第9列至第
13列的5块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0086] 参见图17，图17是本发明安装在盖板3上第10行的4块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0087] 在图17中，下部的4块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为10的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第9个的9
个费尔马不等式板4制作模板，在第10个制作模板中，从下往上，把第2个至第6个矩形方格
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5
内的5个费尔马不等式修改成12 ＜10 +10 ＜13 ，11 ＜10 +10 ＜12 ，11 ＜10 +10 ＜12 ，
6 6 6 6 7 7 7 7
11＜10+10＜12 ，11＜10+10＜12 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”
向上平移，平移至第7个矩形方格内的相应位置；在第11个制作模板中，从下往上，把第2个
3 3 3 3 4 4 4 4 5
至第4个矩形方格内的3个费尔马不等式修改成13 ＜10+11 ＜14 ，12＜10+11 ＜13 ，12
5 5 5
＜10+11＜13 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第5
个矩形方格内的相应位置；在第12个和第13个的2个制作模板中，从下往上，把每个制作模
3 3 3 3 4 4
板的第2个和第3个矩形方格内的4个费尔马不等式分别修改成13 ＜10+12＜14 ，13＜10
4 4 3 3 3 3 4 4 4 4
+12＜14 ，14＜10+13＜15，14＜10+13＜15 ，都着红色，分别把第2个矩形方格内各两
颗红色五星“★”都向上平移，平移至第4个矩形方格内的相应位置；然后，在第10个至第13个的4个费尔马不等式板4制作模板中，用10替换制作模板中修改12个费尔马不等式后剩下
的其他所有带方括号“[]”标记的字母“[x]”，由此得到坐标为(10，10，n)，(10，11，n)，(10，
12，n)，10，13，n)的4块费尔马不等式板4的结构示意图，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第10行的第10列至第13列的4块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0088] 参见图18，图18是本发明安装在盖板3上第11行的3块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0089] 在图18中，3块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为11的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第10个的10个费
尔马不等式板4制作模板，在第11个制作模板中，从下往上，把第2个至第6个矩形方格内的5
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6
个费尔马不等式修改成13＜11+11＜14 ，13＜11+11＜14 ，12＜11+11＜13 ，12＜11
6 6 7 7 7 7
+11＜13 ，12＜11+11＜13 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平
移，平移至第7个矩形方格内的相应位置；在第12个制作模板中，从下往上，把第2个至第4个
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5
矩形方格内的3个费尔马不等式修改成14＜11+12＜15 ，13＜11+12＜14 ，13 ＜11+12
5
＜14 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第5个矩形方格内的相应位置；在第13个制作模板中，从下往上，把第2个至第3个矩形方格内的2个费尔
3 3 3 3 4 4 4 4
马不等式修改成15＜11+13＜16 ，14＜11+13＜15 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两
颗红色五星“★”向上平移，平移至第4个矩形方格内的相应位置；然后，用11替换第11个至第13个制作模板中修改10个费尔马不等式后剩下的其他所有带方括号“[]”标记的字母
“[x]”，由此得到坐标为(11，11，n)，(11，12，n)，(11，13，n)的3块费尔马不等式板4，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第11行的第11列至第13列的3块费尔马不等式板4的结
构示意图。

[0090] 参见图19，图19是本发明安装在盖板3上第12行的2块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0091] 在图19中，2块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为12的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第11个的11个费
尔马不等式板4制作模板，在第12个制作模板中，从下往上，把第2个至第7个矩形方格内的6
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6
个费尔马不等式修改成15＜12+12＜16 ，14＜12+12＜15 ，13＜12+12＜14 ，13＜12
6 6 7 7 7 8 8 8 8
+12＜14 ，13 ＜12+12＜14，13＜12+12＜14 ，都着红色，把第2个矩形方格内的两颗红
色五星“★”向上平移，平移至第8个矩形方格内的相应位置；在第13个制作模板中，从下往
3 3 3 3 4 4
上，把第2个至第5个矩形方格内的4个费尔马不等式修改成15 ＜12 +13 ＜16 ，14＜12 +
4 4 5 5 5 5 6 6 6 6
13＜15 ，14 ＜12+13＜15 ，14＜12+13＜15 ，都着红色，，把第2个矩形方格内的两颗红
色五星“★”向上平移，平移至第6个矩形方格内的相应位置；然后，用12替换第12个至第13个的3个制作模板中修改10个费尔马不等式后剩下的其他所有带方括号“[]”标记的字母
“[x]”，由此得到坐标为(12，12，n)，(12，13，n)的2块费尔马不等式板4，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第12行的第12列至第13列的2块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0092] 参见图20，图20是本发明安装在盖板3上第13行的1块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0093] 在图20中，1块费尔马不等式板4的结构示意图，是在输出文件中的编号为12的长方形内的13个费尔马不等式板4制作模板中，从左往右，删去左边第1个至第12个的12个费
尔马不等式板4制作模板，在右边的第13个制作模板中，从下往上，把第2个至第8个矩形方
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5
格内的7个费尔马不等式修改成16 ＜13+13＜17 ，15＜13+12＜16，14＜13+13＜15，
6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9
14＜13+13 ＜15 ，14 ＜13+13＜15 ，14＜13+13 ＜15 ，14＜13+13＜15 ，都着红色，
把第2个矩形方格内的两颗红色五星“★”向上平移，平移至第10个矩形方格内的相应位置；
然后，用13替换第13个制作模板中修改6个费尔马不等式后剩下的其他所有带方括号“[]”
标记的字母“[x]”，由此得到坐标为(13，13，n)的1块费尔马不等式板4，就是安装在盖板3上与三次函数板2接触的第13行的第13列的1块费尔马不等式板4的结构示意图。

[0094] 参见图8至图13，在每行的8块至13块费尔马不等式板4的示意图的中部，把数字特征相同的图省略去掉一部分，中间用1列黑点竖排成的省略号表示图中省略去掉的一部分
费尔马不等式板4，设计出每图至多横排7块费尔马不等式板4的示意图6个。

[0095] 参见图21，图21是本发明的应用举例的一个示意图，结合参见图5，应用图5所示的指数标示板，利用穿过n＝10所在的矩形方格内的小孔的细线，在三块指数标示板5上的n＝
10的水平位置绕线一周，在观察中看出：细线所在平面内的所有费尔马不等式都是着绿色
的边界不等式，细线所在平面上，当指数n≥10的所有费尔马不等式都是着绿色的边界不等
式，都是不需要计算就判断出费尔马不等式成立结果的结论，形成判断费尔马大定理成立
的有一个具有直观空间结构的数学模型，对于大、中、小学的数学教学和社会性的数学科学
普及活动，具有广泛的实用性。