[0001] 本发明设计航空涡轮发动机领域，特别涉及一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法。

[0002] 随着涡轮发动机技术日益完善，现代的航空发动机追求更高的性能和推重比，其结构也愈加复杂，工作条件越发苛刻，不确定性因素对发动机整体性能的影响也更为显著，一个好的发动机设计不仅需要较好的动力学性能，而且还需要良好的鲁棒性。从设计、生产再到使用的过程中充斥着诸多不确定性因素的影响。这些不确定因素会对发动机性能和安全造成一定的影响，在某些情况下会严重恶化飞行器的飞行性能，甚至带来安全隐患。发动机结构几何参数、材料力学性能参数、结构参数等也会由于不确定性因素的影响与制造装配后的真实值存在差异。对发动机结构进行传统的确定性优化设计时，无论是约束条件还是目标函数，其对应的参数都是确定的，然而，在实际问题中很难保证发动机结构中的某些参数不发生变动，尤其是考虑到发动机的复杂程度，甚至是当某个参数发生细微的扰动时极有可能导致一些特定问题原本的最优解变得毫无意义。

[0003] 对发动机结构进行传统的确定性优化设计时，无论是约束条件还是目标函数，其对应的参数都是确定的，然而，在实际问题中很难保证发动机结构中的某些参数不发生变动，尤其是考虑到发动机的复杂程度，甚至是当某个参数发生细微的扰动时极有可能导致一些特定问题原本的最优解变得毫无意义。

[0004] 随着对不确定性认识的加深，人们开始探究处理不确定性问题的方法，随机优化与鲁棒优化方法已经得到了广泛的应用。随机优化问题针对一个给定的概率分布，但很多情况下难以得到精确值，只能通过历史数据去估计真实的概率分布，由于估计存在误差，导致求出的结果出现较大的偏离；而鲁棒优化则太过保守，考虑的是最差情况，即便一些情况出现的概率极为微小甚至可以忽略，但鲁棒优化依旧让其优化解在该情况可行。近些年发展迅速的分布鲁棒优化方法则较好的解决了随机规划与鲁棒优化的缺点，分布鲁棒优化首先通过历史数据推导出一个近似的概率分布作为参考分布，考虑与参考分布相似的一系列分布构成一个分布集，然后再用鲁棒的思想来考虑分布集，使分布集中的“最坏情况最好”。

[0005] 目前传统的分布鲁棒优化方法主要缺点在于进行优化时需要显式优化目标函数，利用拉格朗日对偶原理进行转换后直接进行优化求解；而在工程实际应用中，尤其是航空涡轮发动机领域，整体结构极其复杂，构建显示函数是极其困难的，所以本发明针对该问题采用了Kriging代理模型替代显式优化目标函数。

[0021] 下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

[0022] 本发明考虑航空发动机结构的复杂程度，对结构优化设计方法提出了新的方法。本发明结合传统不确定性优化方法和基本鲁棒优化的特性，提出分布鲁棒优化模型，使同时处理设计变量和不确定性参数具有可行性。

[0023] 如图1至图3所示，一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，应用于航空涡轮发动机结构，实现步骤包括：

[0024] 步骤1，确立分布鲁棒优化数学模型，并将分布鲁棒优化模型进行拆分，分成内层最大化问题和外层最小化问题。分别构建两层Kriging代理模型意图于内层优化中找到给定点在模糊集下的最大化期望值，在外层优化中找到最小的最大化期望值，从而利用子集模拟优化得到最终的分布鲁棒优化解。

[0025] 基于不确定性优化与鲁棒优化模型，确立航空涡轮发动机分布鲁棒优化数学模型为：(1)

[0026] 式中x为是设计变量，ζ为不确定参数， 为期望， 为模糊集， 为航空涡轮发动机转静间隙变化量，k1和k2为结构刚度，c1和c2为结构阻尼，s.t表示约束条件， 和为发动机临界转速。

[0027] 对优化问题分为内外两层，如图2，内层问题为求解 部分，此部分为求解极大问题，外层问题为求解 部分，为求解极小问题。

[0028] 步骤2，由于 没有具体的数学表达形式，所以需要采用Kriging代理模型获得设计变量与转静间隙变化量之间的映射关系。将航空涡轮发动机前后支承的刚度和阻尼作为设计变量，转静间隙变化量为响应值，构建航空涡轮发动机结构优化的第一层Kriging代理模型。

[0029] 采用LHS抽样方法对设计变量进行抽样，生成200个训练样本点组成的样本池，从样本池中抽取43个点作为构建Kriging代理模型的训练样本点，基于有限元软件ANSYS计算得到训练样本点的结构响应值。本实施例中结构响应值为转静间隙变化量值，是航空涡轮发动机结构中转子与静子的间隙，在结构的刚度与阻尼等不确定性参数的影响下，对现有航空涡轮发动机结构进行有限元动力仿真，计算结构转子与静子的间隙变化量。基于图1有限元模型与转静间隙变化量值得到第一层Kriging初始样本点。计算结果如下表1：

[0030] 表1 第一层Kriging初始样本点；
表中，k1和k2为结构刚度，c1和c2为结构阻尼，Dc为转子与静子之间的间隙变化量。

[0031] 将初始训练样本点与有限元计算后对应的转静间隙变化量结合，构建第一层较高精度的Kriging代理模型，构建流程如图2所示：表中刚度与阻尼样本作为输入变量，间隙变化量为输出样本，输入输出样本通过Kriging模型即可得到Kriging代理模型，Kriging模型为：，
式中gK(X)为Kriging模型，fi(X)为随机向量基函数，βi为回归函数待定系数，p为基函数个数，z(X)为随机过程。

[0032] 在构建完第一层Kriging代理模型后，进行LHS抽样方法重新抽样生成验证样本点，计算验证样本点的响应值，接着将验证样本点代入构建好的Kriging代理模型，将带入代理模型中的数值与有限元模拟数值进行对比验证精度，见表2；与此同时，该Kriging代理模型将用于确定性优化以及内层优化中参数波动时响应的求取。

[0033] 表2 Kriging代理模型响应预测值及真实值。

[0034] 本实施例中构造的第一层Kriging代理模型的真实值和预测值误差通过相对均方2
根误差（RMSE）、决定系数（R）及最大相对误差（MRE）作为校验标准，精度验证结果如表3，根据工程实际应用，误差在可接受范围内，满足精度要求。

[0035] 表3 Kriging代理模型精度验证结果。

[0036] 基于第一层Kriging代理模型，利用子集模拟优化算法求解航空涡轮发动机结构的确定性优化解，如表4。

[0037] 表4 转静间隙变化量确定性优化结果。

[0038] 步骤3，进行航空涡轮发动机结构的内层优化：步骤3‑1，基于KL散度构造的模糊集为
(2)
其中， 为KL散度模糊集， 为参考分布，p为概率分布，pi为层间概率分布，m
为层间参考分布，r为模糊半径，Ω为概率空间。

[0039] 基于KL散度模糊集，即可确定样本平均近似法中的真实概率所属空间。

[0040] 步骤3‑2，样本平均近似法为：假定不确定性参数ζ的样本ζ1,…,ζm每个都有对应可能实现的概率 ，当m的取值足够大并m→∞时，参考分布 将无限接近于不确定参数ζ的真实概率分布Pζ，根据该原理将含不确定性问题转换成确定性问题，原理如(3)所示。

[0041] (3)则航空涡轮发动机所使用的分布鲁棒优化模型目标函数为
(4)
式中 为期望， 为Kriging代理模型构建的目标函数。

[0042] 考虑从不确定性参数的可能分布Pζ中能获得m个独立样本ζ1,…,ζm，将该m个样本用于计算分布鲁棒优化问题中的期望，根据样本平均近似法可知参考分布 可以代替真实概率分布Pζ，因此式(4)可以转换为(5)。

[0043] 步骤3‑3，基于设计变量重新抽样生成新的一组样本点为构建第二层Kriging代理模型做准备，如表5，同时根据这些抽样点计算步骤3‑4中的最大化期望值。

[0044] 表5第二层Kriging初始输入样本点。

[0045] 步骤3‑4，为求解内层优化中最大化期望值 ，构建了其对应的概率分布为p*。

[0046] 根据步骤3‑3重新生成的样本点与所求最大化期望值对应的概率分布p*进行期望计算，得到内部最大化期望值，(6)
计算概率分布p*的期望值即可得到最大化期望值 ，即内层优
化结果，计算结果见表6。

[0047] 表6 样本点对应的最大化期望值Dc。

[0048] 步骤4，进行航空涡轮发动机结构的外层优化：步骤4‑1，将内部最大化期望值作为响应值，生成的样本点，从结构刚度与阻尼参数中生成样本点为输入，如表5，得到最大化期望值的Kriging代理模型；
步骤4‑2，根据最大化期望的算法获得样本点对应的最大化期望值后，考虑到模型中设计变量维数较高的缘故，基于第二层Kriging代理模型，利用子集模拟优化算法进行优化。

[0049] 子集模拟优化流程如下：（1）设计变量初始化
假设含有n个独立的设计变量 ，设计变量的概率密度函数为
，所有设计变量的联合概率密度函数为 。

[0050] （2）第一层模拟：根据概率分布 ，由直接Monte Carlo模拟生成N个独立的同分布样
本 。然后，计算所有随机样本对应的目标函数值并将其进行升序排序，即
有 。选择合适的层内条件概率p1，如下式所示
(7)
其中I(·)为示性函数，满足条件时值为1，否则为0。第一个中间事件为
，有
(8)。

[0051] （3）第k阶段模拟：第k层模拟从前一步Fk‑1事件中的每个样本开始，可以生成相同分布的Markov链。
与步骤（2）相同，目标函数值小于 的样本被选为下一层段模拟的样本。

[0052] 重复上述步骤，直到满足迭代终止条件或者优化迭代次数达到最大迭代次数。当搜索过程接近全局最优值时，序列中样本点的距离越来越小，当满足判据时，取目标函数序列里的最优值作为全局最优值。

[0053] 获得航空涡轮发动机结构的分布鲁棒优化解，如表7。

[0054] 表7 子集模拟优化后的分布鲁棒优化结果；
将分布鲁棒优化应用与航空涡轮发动机结构上的整体流程如图3所示。

[0055] 采用子集模拟优化算法求得步骤2中第一层Kriging代理模型确定性优化解并与步骤4‑2获得的分布鲁棒优化解对比以检验本专利方法的有益效果：由于确定性优化解受参数波动及分布不确定性的影响较大，相对于分布鲁棒优化点更加敏感，容易发生较大的偏差，将表4和表7的优化解（最后一列）与表6中最差情况分布期望值0.5075相比可知，鲁棒优化解在满足优化需求时也更加稳定。

[0056] 最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。