[0001] 本申请涉及材料分析技术领域，特别涉及一种基于挠曲电效应的薄膜基底结构屈曲分析方法。

[0002] 挠曲电效应（Flexoelectric effect），是指由非均匀变形或应变梯度诱导产生的电极化现象，已被证明在纳米尺度的电介质膜中极性结构的形成中起主导作用，挠曲电效应不受材料结构对称性和居里温度的限制，广泛存在于固体介电材料中。由于其独特的优势，挠曲电效应在柔性电子器件、微纳机电系统（M/NEMS）、应变梯度工程、生物医疗和电子/光电子学等领域具有广阔的应用前景。

[0003] 普遍存在的褶皱现象作为一种表面不稳定性，已广泛应用于柔性电子产品、生物医疗微结构制造和人机交互。基于屈曲失稳原理的褶皱薄膜中的非均质变形已被证明可以引入大范围且可调节的应变梯度，可以实现对薄膜中的挠曲电效应的充分利用。最近，褶皱薄膜中的挠曲电效应引起了极大的关注。Wang等人通过考虑挠曲电效应，建立了一个机电耦合模型来研究自由薄膜的屈曲性质，研究发现更小尺寸的薄膜表现出更强的抗屈曲性能，证实了挠曲电效应在纳米尺度的屈曲薄膜中的关键作用。Shang等人提出了一种考虑表面失稳的薄膜基底结构中挠曲电效应的理论模型，重新定义了具有挠曲电效应的皱纹的振幅、波长和临界应变，为机械改变介电材料极性提供一种无电压的策略。Shang等人进一步研究了一种通过褶皱薄膜中的挠曲电效应来机械调控极化结构的新途径，通过改变褶皱薄膜形态，实现了从非极性状态到极性状态的转变，挠曲电效应材料极性不再依赖于超晶格结构，可以广泛应用于所有具有中心对称或非中心对称的材料，为极化拓扑结构提供更广泛的材料和结构选项。这些发现证明了褶皱压电或铁电薄膜中挠曲电效应的存在和有趣的前景，为基于褶皱的微电子机械器件的应用奠定了基础。

[0004] 然而，在柔性电子表面起皱的研究中，发现在释放基底预应变时，与有限厚基底结合的无机材料薄膜同步收缩而发生整体屈曲或局部起皱。较薄的基底更容易发生整体屈曲，较厚的基底更容易发生局部起皱。Zhang等人、Pan等人和Patidar等人均对柔性基底上无机薄膜存在的整体屈曲和局部起皱失稳模式进行了报道。而目前的研究主要集中在对薄膜基底结构屈曲的定性研究，未提出对薄膜基底结构屈曲进行定量分析的方法。

[0010] 下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。

[0011] 图1为本申请实施例提供的一种基于挠曲电效应的薄膜基底结构屈曲分析方法的流程图。本申请实施例提供了一种基于挠曲电效应的薄膜基底结构屈曲分析方法，包括：S100，获取薄膜基底结构的物理数据。

[0012] 示例性地，上述物理数据包括薄膜基底结构中薄膜的厚度h、基底的厚度H、结构的长度L以及将薄膜粘贴在基底表面时释放预先被拉伸的基底产生的薄膜平面内压缩应变等。

[0013] 本申请的薄膜基底结构的屈曲可以简化为二维平面应变问题，如图2‑4所示。图2显示了一种拉伸预应变策略，该策略用于在有限厚度的柔性基底上实现刚性薄膜的制备。薄膜粘合到预先拉伸且平坦的软基底上。然后，在释放预应变时，基底收缩，这导致薄膜压缩，并出现两种不同的屈曲状态（图3和4）。

[0014] S110，根据物理数据确定薄膜基底结构中薄膜的能量和基底的能量，进而确定薄膜基底结构的总能量。

[0015] 示例性地，基于挠曲电效应的薄膜的能量密度可以表示为：（1）
其中， 、 、 和 分别为二阶介电常数张量、四阶弹性常数张量、三阶压电张量和四阶挠曲电张量， 和 分别表示ij和kl方向上的应变分量， 表示ij方向应变分量在l方向的梯度， 、 和 分别表示i、j和k方向上的静电场。

[0016] 薄膜的力电耦合本构方程可以表示为：（2）
（3）
（4）
其中， 、 和 分别为柯西应力、高阶矩应力和电位移矢量， 表示jk方向
应变分量在l方向的梯度， 表示kl方向的二阶介电常数张量， 表示l方向上的静电场。
将式（2）‑（4）代入式（1）中，则薄膜的能量密度 可改写为：
（5）
其中， 表示i方向的电位移矢量。

[0017] 接下来考虑薄膜的位移形式。薄膜的横向位移可以假设为：（6）
其中，A表示薄膜的振幅，k表示薄膜屈曲后的波数，x为薄膜的横向位置。

[0018] 同时，薄膜在中性轴处的轴向位移可以假设为：（7）
将薄膜建模为非线性Euler‑Bernoulli梁，则薄膜的位移应变关系可表示为：
（8）
其中， 为薄膜的膜应变， 为薄膜的弯曲应变， 为薄膜的轴向总应变，z表示薄膜的纵向位置。

[0019] 接下来推导电场的表达式。在没有自由电荷的情况下，要求电位移满足高斯定理：（9）
其中，Dz表示 方向的电位移矢量。

[0020] z方向上电场强度为：（10）
其中， 表示电势。

[0021] 利用电学边界条件 和 ，并将式（4）代入（9）、（10）求解得到在不考虑电场梯度逆效应的情况下，电势 、电场 及其梯度 的表达式：（11）
（12）
（13）
其中，e31表示压电常数，a33表示介电常数，μ31表示挠曲电常数。

[0022] 结合以上计算结果，薄膜的总能量可以写为：（14）
其中，x和z分别表示空间笛卡尔直角坐标系的两个方向的坐标轴，
表示薄膜的等效弹性模量， 表示薄膜的弹性模量， 为薄膜的泊松比，
。

[0023] 对于基底而言，薄膜基底界面处法向应力 与剪应力 可以表示为：（15）
（16）
其中， 表示 方向薄膜应变。为了准确地捕捉薄膜基底结构的屈曲行为，本申请采用完整的薄膜轴向位移形式，包括 和 。因此，作用在薄膜和基底界面上的法向应力和剪应力的表达式为：
（17）
（18）
其中，p1和p2分别为法向应力的一阶与二阶分量，τ1和τ2分别为剪应力的一阶与二阶分量。

[0024] 为了求解基底的平面应变问题，采用Airy应力函数方法，基底的平衡方程为：（19）
其中， 是 的应力， 需满足：
（20）
其中， 为梯度算子。由于薄膜的横向位移形式为 ，同时根据薄膜
基底结构的位移连续性条件，基底的Airy应力函数可以被假设为：
（21）
（22）
其中，n为应力函数分量阶数， 为应力函数与坐标z有关的项， ， ，
和 为待确定的系数。根据公式（21），基底的应力可以表示为：
（23）
（24）
（25）
基底位移可以被假设为：
（26）
其中，u和w分别表示面内位移与面外位移， 和 需要满足以下条件：
（27）
（28）
其中， 表示基底的弹性模量， 表示基底的泊松比。

[0025] 根据薄膜和基底之间完整的剪切力表达式，基底边界条件可以定义为：（29）
将方程代入边界条件，可以得到如下代数方程组：
（30）
（31）
通过求解代数方程组（30）和（31），得到 可以用 和 表示，进而
可以得到基底上表面法向应力 和剪应力 的表达式为：
（32）
（33）
其中的系数为：
（34）
根据上面的推导，可以得到薄膜中性轴处的轴向位移为：
（35）
根据方薄膜和基底之间界面处的平衡条件，剪切力可以表示为：
（36）
求解得到：
（37）
（38）
其中， 和 表示两种弹性参数，其值分别为 ， 。

[0026] 因此，薄膜中性轴处的轴向位移可重新写为：（39）
其中， 和 表示位移系数，表达式为 ， 。

[0027] 推导得到基底能量表达式为：（40）
在计算得到薄膜的能量和基底的能量后，薄膜基底结构的总能量可以写为：
（41）
其中，f是一个用与判断结构屈曲模式的物理参数，g是一个弹性参数项，他们的值分别为：
（42）
（43）
从总能量方程（41）可以看出：当 时，总能量在振幅 时最小，这意味着
柔性的薄膜基底结构不会屈曲。而当 时，结构会发生屈曲失稳，由于 ，故可将其忽略。令 可以得到该结构局部起皱时的振幅为：
（44）
将式（44）回代到总能量表达式（41）中，可以将总能量可以写为关于波数 的函数：
（45）
S120，提取总能量中的实际参数。

[0028] 示例性地，在确定总能量后，实际参数即为总能量中的实际kh值。

[0029] S130，根据物理数据绘制屈曲关系曲线，屈曲关系曲线中包含参数阈值。

[0030] 示例性地，屈曲关系曲线为f和kh之间的关系曲线，实际参数为实际kh值。

[0031] 参数阈值与薄膜基底结构的临界长度对应。当屈曲关系曲线为非单调递增时，屈曲关系曲线的局部极小值点的f值对应的kh值为参数阈值。

[0032] 在绘制屈曲关系曲线时，绘制不同挠曲电常数和不同厚度比下的多条屈曲关系曲线，然后选择与物理数据对应的屈曲关系曲线。

[0033] S140，比较实际参数和参数阈值，确定薄膜基底结构的屈曲状态。

[0034] 示例性地，当确定实际kh值小于或等于参数阈值时，确定薄膜基底结构为整体屈曲，当实际kh值大于参数阈值时，确定薄膜基底结构为局部起皱。

[0035] 根据公式（45）可以得到，总能量 依赖于 ，且是 的二次函数。显然，当时，公式（45）中的总能量 是关于波数 的最小化，它决定了薄膜基底结构的屈曲状态。在下面数值仿真中使用到的参数为： ， ， ，。

[0036] 为了区分薄膜基底结构的屈曲区域，并评估挠曲电效应强弱对屈曲区域的影响，绘制了图5‑6。由图5‑6的数值结果可以发现：在基底与薄膜厚度比 且薄膜挠曲电常数 时，函数 （图5中的蓝色曲线）是关于 的单调递增函数，这意味着当和 时， 最小。即此时结构仅会出现整体屈曲一种失稳模式。然而，当薄膜挠曲电常数 时，函数 （图5中的红色曲线）不是关于 的单调递增函数，存在局部极小值点。此时，随结构长度 的不同可能出现整体屈曲或局部起皱两种失稳模式，而且这两种屈曲状态可以通过比较与它们对应的 函数值来确定。如图6所示，函数 关于有一个极小值点，该点对应的屈曲状态为局部起皱。但是，当 时，结构的屈曲状态为整体屈曲。为了更清楚地区分这两种屈曲模式，本申请给出了临界长度 。当时（即图6中橙色部分），结构发生局部起皱；否则，结构只会发生整体屈曲（即图6中蓝色部分）。因此，可以得到薄膜挠曲电常数越小，结构越容易发生局部起皱。挠曲电效应的存在会增大结构的刚度，改善结构的可拉伸性。

[0037] 为了区分薄膜/基底结构的屈曲区域，并评估薄膜和基底的厚度对屈曲区域的影响，绘制了图7‑8。由图7‑8的数值结果可以发现：在薄膜挠曲电常数 且基底与薄膜厚度比 时，函数 是关于 的单调递增函数，此时不论结构长度 如何变化，结构仅会出现整体屈曲一种失稳模式。然而，当基底与薄膜的厚度比 时，随结构长度 的不同可能出现整体屈曲或局部起皱两种失稳模式。因此，可以得到结构基底厚度越大，结构越容易发生局部起皱。在进行结构设计时需要根据不同的目标考虑薄膜材料的挠曲电参数、厚度、基底的厚度与结构的长度来诱导结构产生相应的屈曲模式。

[0038] 从图5‑8的分析中可以得到，薄膜挠曲电常数、结构长度与基底薄膜厚度比都会影响薄膜/基底结构的屈曲失稳模式，为了进一步明确整体屈曲和局部起皱，并深入理解临界长度 与薄膜挠曲电常数 和基底/薄膜厚度比 之间的关系，给出了整体屈曲和局部起皱之间的转换关系。

[0039] 在图9中，薄膜挠曲电常数 ，从这个图中可以清楚地观察到，当基底/薄膜厚度比 时，结构的屈曲状态是整体屈曲。当这个比值大于71时，结构的屈曲状态由结构的长度 决定，当 时（即在图9中蓝色曲线上方蓝色区域），结构屈曲状态是整体屈曲；当 时（即在图9中黄色区域），结构屈曲状态是局部起皱。如图9所示，基底越厚，临界长度 的值越大，这意味着要形成整体屈曲状态，结构应该越长。在图10和11中，薄膜挠曲电常数 分别为 和 ，随薄膜挠曲电常数增大，产生两种失稳模式的临界厚度比增大，临界长度变化趋势与图9相同。从图12中可以直观地看到，随着薄膜挠曲电效应增强与基底厚度减小，临界长度 的值越小，结构越容易发生整体屈曲。

[0040] 在图13中，薄膜挠曲电常数 、结构长度 ，从这个图中可以清楚地观察到，当基底/薄膜厚度比 时，结构的屈曲状态是整体屈曲，失稳的临界应变随厚度比增大而增大。当这个比值大于71时，结构的屈曲是局部起皱，失稳的临界应变随厚度比增大而减小。在图14和15中，薄膜挠曲电常数 分别为 和 ，随薄膜挠曲电常数增大，两种失稳模式的临界厚度比增大，临界应变变化趋势与图13相同。从图16中可以直观地看到，随薄膜挠曲电效应增强，结构发生失稳的临界应变增大，且对局部起皱阶段的影响更突出。

[0041] 上述实验表明，挠曲电效应的存在可以提高结构的拉伸性能。为了理解这种拉伸性的基本机制，本申请还研究了当受到不同的压缩应变时的振幅和最大应变。起皱膜中的最大应变可以表示为：（46）
为了进一步研究挠曲电效应对局部起皱模式的影响，图17‑18描绘了不同挠曲电常数条件下，预应变、局部起皱振幅与最大应变之间的关系，以直观地说明薄膜/基底结构可拉伸性的改善。从图17可以看出，薄膜挠曲电效应越弱，结构发生局部起皱的临界应变就越小。同时，振幅随预应变的增大而增大。然而当薄膜挠曲电效应较强时，结构在预应变小的时候振幅较小，预应变大的时候振幅较大。从图18可以看出，薄膜中挠曲电效应越强时，薄膜中最大应变越小，再次说明了挠曲电效应的存在可以提高结构的拉伸性能。

[0042] 图19给出了在结构长度 、基底/薄膜厚度比 和结构预应变时不同挠曲电常数薄膜的褶皱轮廓图。从图中可以看到，对于局部起皱模式，薄膜挠曲电效应较强时，褶皱更稀疏，同时褶皱振幅更大，与图17的结论相符。当薄膜挠曲电效应增强到一定程度时，结构失稳模式从局部起皱转变为整体屈曲，此时，结构振幅是局部失稳模式的两倍多。在基于褶皱的微电子机械设计过程中需要注意采用合适的参数来避免结构发生不合适的失稳模式。通过对薄膜基底结构的屈曲状态分析，有助于在微纳尺度上设计多功能的基于褶皱的设备，如传感器、能量采集器和柔性电子设备等。

[0043] 尽管已描述了本申请的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基本创造性概念，则可对这些实施例做出另外的变更和修改。所以，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本申请范围的所有变更和修改。

[0044] 显然，本领域的技术人员可以对本申请进行各种改动和变型而不脱离本申请的精神和范围。这样，倘若本申请的这些修改和变型属于本申请权利要求及其等同技术的范围之内，则本申请也意图包含这些改动和变型在内。