[0001] 本发明专利涉及电路元件基础理论，具体涉及电压分数阶积分控制式忆阶元。

[0002] 电子元件是构成电路与系统的最基本单元。1745年荷兰莱顿大学P.穆森布罗克发明的莱顿瓶是最原始的电容(capacitor)，1826年德国欧姆发现欧姆定律提出电阻(resistor)的概念，1831年英国法拉第制成铁芯线圈制作出电感(inductor)。电阻、电容和电感是全世界公认的三种基本无源电路元件，已在电路与系统中得到最广泛的应用。

[0003] 分数阶微积分(fractional calculus)是运算阶次为非整数的一种微积分，已成为数学分析的一个重要分支。由于分数阶微积分的长时记忆性、非定域性和弱奇异性，近年来，已成为科学和工程技术领域中使用的一种新数学手段。分数阶微积分在物理、化学、生物、控制、信号处理、图像处理、神经网络、电路与系统等领域得到了有效的应用，并已取得许多有益的结果。依据分数阶微积分理论，电容的运算阶为-1，电阻的运算阶为0，电感的运算阶为+1。运算特性介于电阻和电容之间的元件为容性分抗元(capacitive fractor)，运算特性介于电阻和电感之间的元件称为感性分抗元(inductive fractor)，分抗元(fractor)的分抗量简称为分抗(fractance)。

[0004] 电流、电压、电荷和磁通是电路理论的四个基本变量，它们之间共有六种关系：1.电流和电荷的关系由电流定义式建立；2.电压和磁通的关系由法拉第电磁感应定律建立；3.电压和电流之间的关系由电阻建立；4.电压和电荷的关系由电容建立；5.电流和电荷的关系由电感建立。电荷和磁通的关系由什么元件或定律来建立？很长时间以来，一直没有引起人们的关注和重视。

[0005] 根据电路基本变量组合完备性原理，1971年美籍华裔科学家蔡少棠先生从理论预测出忆阻(memristor)的存在，蔡先生认为忆阻是建立电荷和磁通关系的电路元件，从而称忆阻为第四种基本电路元件，并得到学界的广泛认可。蔡先生还依据电路变量与电路元件的公理完备性(axiomatic completeness)、逻辑相容性(logical consistency)和形式对称性(formal symmetry)等，提出公理化的电路元件体系——蔡氏公理化元件系(Chua’s axiomatic element system)，进而得电路元件的到蔡氏周期表(Chua’s periodic table)。

[0006] 2008年，《Nature》报道了美国科学家Williams领导的团队在纳米尺度下制造出的忆阻物理实体，震惊国际电工电子领域，掀起忆阻的研究热潮。忆阻在计算机科学、神经网络、生物工程、通信工程和非线性电路等领域有着广泛的应用前景。同年，忆容(memcapacitor)和忆感(meminductor)也被提出，并得到人们的关注和研究。在记忆元件(memory elements)中，忆阻量、忆容量或忆感量随电荷或磁通而变化。忆阻(memristor)的忆阻量(memristance)记忆电荷量或磁通量、忆容(memcapacitor)的忆容量(memcapacitance)记忆电荷量或磁通量、忆感(meminductor)的忆感量(meminductance)记忆电荷量或磁通量。然而，忆阻器作为第四种基本电路元件的物理身份仍存在质疑。2008年，Mathur撰文在《Nature》指出，实际的忆阻是从伏安关系获得的，线性磁电耦合效应的材料可以建立电荷和磁通的关系，满足第四种基本电路元件的定义。2015年，中国科学院物理研究所孙阳、尚大山、柴一晟等依据磁电耦合效应物理实现满足原始磁通和电荷关系的电耦元(transtor)及相应的非线性记忆元件——忆耦元(memtranstor)，他们认为电偶元才是真正的第四种基本电路元件。电耦元(transtor)和忆耦元(memtranstor)在开发新一代信息功能器件方面具有巨大的潜力。关于第四种基本元件的确定，学界虽然广泛认可忆阻，但还是存在质疑，但不影响忆阻和电偶有关理论与应用研究。

[0007] 受蔡氏周期表启发，依据分数阶微积分理论，分数阶忆阻(fractional-order memristor)的概念应运而生，并发展出两种类型：第一种分数阶忆阻(fractional memristor)的单位和电阻一致，忆阻量(memristance)记忆电压或电流的分数阶积分量；第二种分数阶忆阻的单位和分抗元一致，可称为忆分抗(memory fractor)，忆分抗的忆分抗量(memory fractance)记忆电荷量或磁通量。我们认为还应存在第三种分数阶忆阻，其单位和分抗元一致，忆分抗量记忆电压或电流的分数阶积分值。四川大学蒲亦非教授等人在2016年提出一种分忆抗的概念，并创造新单词“fracmemristor”作为英文名，还于2017年尝试用标度分形格结构方式实现，蒲亦非教授等人提出的分忆抗属于上述第二种。

[0008] 至此，记忆元件的(忆)电阻量、(忆)电容量、(忆)电感量或(忆)分抗量作为记忆变量，受到电荷量、磁通量、电流分数阶积分量或电压分数阶积分量的控制，进而得到的忆阻、忆容、忆感、忆分抗和分数阶忆阻均得到人们的研究，并取得丰富的理论和实验成果。然后，从分数阶微积分理论视角，记忆元件的运算阶为记忆变量时，受电荷量、磁通量、电流分数阶积分量或电压分数阶积分量的控制，得到的忆阶元(memory-order element)将会呈现出什么理论与实践意义？这是值得深入研究和挖掘的问题，也将启发人们从全新角度研究和丰富蔡氏周期表。

[0032] 以下结合附图对本发明的原理和特征进行描述，所举实例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。

[0033] 如图1所示，一种电压分数阶积分控制式忆阶元，包括引脚a、引脚b、压控变阶分抗UF、电压分数阶积分器A，压控变阶分抗UF包括电压控制端uc和变阶分抗 压控变阶分抗UF内变阶分抗 的运算阶受电压控制端uc的电压值控制，压控变阶分抗内电压控制端uc的输入阻抗为无穷大，电压分数阶积分器A包括电压输入端u和电压输出端uc，电压分数阶积分器的输入端u的输入阻抗为无穷大，电压分数阶积分器的电压输出端uc的输出阻抗为零，引脚a、压控变阶分抗UF内变阶分抗 以及引脚b为串联关系，压控变阶分抗UF内变阶分抗与电压分数阶积分器的电压输入端并联，电压分数阶积分器电压输出端与压控变阶分抗的电压控制端并联；变阶分抗 的阻抗函数 变阶分抗的运算阶μM与电压控制端uc的电压值有关，F(μ)称为变阶分抗的特征量，s是拉普拉斯变量；从时刻0至时刻t，所述电压分数阶积分器A内电压输出端的电压值 Ki为电压分数阶积分器
A的比例系数，运算阶-1＜μ＜0， 为积分运算符号，时刻0为分数阶积分的下限，时刻t为分数阶积分的上限。

[0034] 在本发明实施例中，压控变阶分抗UF内变阶分抗 的运算阶μM(uc)＝kuc，k为压控变阶分抗UF的控制系数。

[0035] 本发明的工作原理为：

[0036] 常见的分数阶微积分定义有黎曼-刘维尔(Riemann-Liouville)定义、卡普图(Caputo)定义和格林瓦尔-莱特尼科夫(Grünwald-Letikov)定义等。从时刻0到时刻t，称为函数f(t)的-μ阶黎曼-刘维尔分数阶积分，其中 为积分运算符号， 为伽玛函数，时刻0为分数阶积分的下
限，时刻t为分数阶积分的上限。当函数f(t)及其各阶导数的初值均为0，若f(t)＝sin(ω
0t)，则有 若f(t)＝cos(ω0t)，则有
ω0为信号角频率。若函数f(t)及其各阶导数的初值均为0，
则其分数阶微积分的拉普拉斯变换为 s是拉普拉斯变量，亦称运
算变量。

[0037] 图1所示电压分数阶积分控制式忆阶元引脚a、引脚b间的阻抗(电压分数阶积分控制式忆阶元的阻抗Z(s))与变阶分抗 的阻抗 相等，即 若电压分数阶积分控制式忆阶元引脚a、引脚b间电压u(t)与电流i(t)采用关联参考方向，由分数阶微积分的拉普拉斯变换性质可得到描述其特性的伏安关系为 图2所
示为电压分数阶积分控制式忆阶元与其它二端记忆元件的一览图。

[0038] 变阶分抗 的运算阶μM(uc)＝kuc，电压分数阶积分器A内电压输出端的电压值为电压u(t)的分数阶积分值，运算阶

[0039] 由运算阶 可知，电压分数阶积分控制式忆阶元的运算阶μM受到电引脚a、引脚b间的电压分数阶积分值控制。电压分数阶积分控制式忆阶元的伏安关系可进一步表示为：

[0040] 由电压分数阶积分控制式忆阶元的伏安关系和分数阶微积分的拉普拉斯变换性质可知，本发明公开的电压分数阶积分控制式忆阶元阻抗函数 F＝F(μ)， u(s)为端口电压，i(s)为端口电流，F为忆阶元特征值，忆阶元运算阶μM受到电压分数阶积分值 的控制，运算阶记忆了电压分数阶积分值，因此也称μM为记忆阶。进一步数学描述电压分数阶积分控制式忆阶元伏安关系为：

[0041]

[0042] 从系统性质可知，电压分数阶积分控制式忆阶元具有记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时变性、非线性等性质，这些性质可将电压分数阶积分控制式忆阶元的电压u(t)作为输入、电流i(t)作为输出分析得到。

[0043] 记忆性：电压分数阶积分控制式忆阶元的电流i(t)不仅与电压u(t)有关，还与电压分数阶积分值 有关，电压分数阶积分值 是电压u(t)的分数阶积分，不仅取决于当前时刻的电压值，还与过去的电压值有关，电压分数阶积分控制式忆阶元具有记忆性。这种记忆可以是易失的也可为非易失的。

[0044] 可逆性：如果一个系统在不同的输入下，导致不同的输出，就称该系统是可逆的。由电压分数阶积分控制式忆阶元伏安关系可知，不同电压u(t)会导致不同的电流i(t)，因此电压分数阶积分控制式忆阶元具有可逆性，有望用于保密通信。

[0045] 因果性：电压分数阶积分控制式忆阶元任何一个时刻的电压u(t)只取决于现在的输入电流i(t)与过去的输入电流，具有因果性。

[0046] 稳定性：电压分数阶积分控制式忆阶元任何一个时刻的输入电压u(t)为有限电压值时，由其伏安关系可知，电流i(t)也是有界的，不会发散，因此具有稳定性。

[0047] 时变性：电压分数阶积分控制式忆阶元任何一个时刻的输入电压u(t)时，电流如果输入电压有一个时移tx，即u(t-tx)，则电流不为i(t-tx)，符合时变性。

[0048] 非线性：电压分数阶积分控制式忆阶元任何一个时刻的输入电压为xu(t)时(x为给定的常数)，电流 不满足系统的齐次性，为非线性元件。

[0049] 通过输入电压分数阶积分控制式忆阶元为恒定压值和正弦交流电压信号时的时域波形，可呈现出电压分数阶积分控制式忆阶元的应用价值及其特有的性质。

[0050] 若输入电压分数阶积分控制式忆阶元两端的电压u1(t)＝aH(t)(H(t)为单位阶跃函数，a为电压值)，则内部状态电压分数阶积分值变量 记忆阶依据黎曼-刘维尔分数阶积分得到电压分数阶积分控制式忆阶元的二端
电流

[0051] 若电压源u1(t)＝0.1H(t)A(t>0)，电压分数阶积分控制式忆阶元的特征值F＝1，Ki＝1，Kj＝1。当k＝1，μ＝-0.3时，电压分数阶积分控制式忆阶元的电流曲线图如图3所示，记忆阶曲线如图4所示；当k＝1，μ＝-0.8时，电压分数阶积分控制式忆阶元的电流曲线图如图5所示，记忆阶曲线如图6所示；当k＝20，μ＝-0.3时，电压分数阶积分控制式忆阶元的电流曲线图如图7所示，记忆阶曲线如图8所示；当k＝20，μ＝-0.8时，电压分数阶积分控制式忆阶元的电流曲线图如图9所示，记忆阶曲线如图10所示。

[0052] 由图3～图10所示的电流曲线和记忆阶曲线可知，电压分数阶积分控制式忆阶元展现出丰富的非线性特性；电流变化曲线为非线性曲线，且与运算阶有关；记忆阶曲线也呈现出与运算阶有关的非线性。

[0053] 将电压分数阶积分控制式忆阶元a、b二引脚连接正弦电压源u2(t)作为激励信号，u2(t)＝Um sin(2πft)，Um为电压源的峰值，f为正弦电压源的频率，角频率ω＝2πf。电压分数阶积分控制式忆阶元内部状态电压分数阶积分值变量记忆阶 由此得到电
压分数阶积分控制式忆阶元的电流

[0054] 令正弦电压源u2(t)的峰值Um＝1V，角频率ω＝1rad/s，电压分数阶积分控制式忆阶元的特征值F＝1。当k＝1，μ＝-0.3时得到电压电流曲线、伏安特性曲线、记忆阶曲线分别如图11、图12和图13所示；当k＝10，μ＝-0.3时得到电压电流曲线、伏安特性曲线、记忆阶曲线分别如图14、图15和图16所示；当k＝10，μ＝-0.8时得到电压电流曲线、伏安特性曲线、记忆阶曲线分别如图17、图18和图19所示。

[0055] 从图12、图15和图18可知，电压分数阶积分控制式忆阶元不再具有已有记忆元件具有的捏滞回线，具有丰富的已有记忆元件不具有的新的非线性特性，且与运算阶μ有关，非线性特性更丰富。由于电压分数阶积分的运算阶绝对值小余1，属于磁通量的有损记忆(依据“俞亚娟,王在华.一个分数阶忆阻器模型及其简单串联电路的特性[J].物理学报,2015,64(23):238401.”)。从图11、图14和图17可知，电压分数阶积分控制式忆阶元不仅展现出丰富的非线性特性，而且还具有倍频功能，是目前已知的唯一的可实现倍频的电路元件，结合图13、图16和图19可知，倍频比例与记忆阶的大小有关。

[0056] 总之，电压分数阶积分控制式忆阶元具有电压分数阶积分值记忆功能，电压分数阶积分值改变元件的运算阶，可作为新电路元件广泛的应用于电路与系统的设计中，其震荡性质和倍频性质是忆阶元特有。

[0057] 以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。