技术领域
[0001] 本发明属于非线性电路，具体涉及一种阶数和容值可调的分数阶电容电路。
相关背景技术
[0002] 电路中常用的电子元器件有电阻、电容和电感等。当交流信号通过理想电容时，理想电容的瞬时电流超前瞬时电压90度，理想电容的电压和电流关系为 然而研究发现，实际电容并不是理想元件，其本质是分数阶的，只是其阶数非常接近于1而近似为整数阶电容。分数阶电容的电压和电流关系为 (α为分数阶电容的阶数，α∈(0,2)且α≠1)。目前分数阶电容尚未生产出来，为了进一步研究分数阶电容的特性和功效，有必要构造不同阶数的分数阶电容。现有分数阶电容的实现电路都是由现成的电阻、电容和运算放大器等器件组成，常见的有Oldham链分抗和N-S树分抗等分形分抗电路，将整个电路等效为一个分数阶电容元件。但是这些电路对电阻、电容等器件的规格要求较高，而且元件选定后，电容阶数固定。如果需要改变分数阶电容的阶数或者容值，整个电路的元件都需要更换。
具体实施方式
[0017] 以下结合附图和实例对本发明的具体实施作进一步说明，但本发明的实施和保护不限于此，需指出的是，以下若有未特别详细说明之处，均是本领域技术人员可参照现有技术实现或理解的。
[0018] 如图1所示，阶数和容值可调分数阶电容包括电压采样电路1、数字控制器2、逆变电路3、电感4、电阻5、电容6。分数阶电容的A端和电阻5的一端相连，分数阶电容的B端和电容6的一端F相连，电阻另一端和电容6的另一端E相连，电压采样电路1输入的S1和S2采样分数阶电容两端的电压vin，电压采样电路1的输出S0和数字控制器2的Ci相连，数字控制器2的输出Co和逆变器3的Ii相连，用来控制逆变器3中开关管的开通和关断，逆变器3的C端口和电感4的一端相连，电感4的另一端和电容6的另一端E相连，逆变器3的D端口和电容6的一端F相连。
[0019] 设vin为分数阶电容等效电路两端的电压，iin为流过分数阶电容等效电路的电流，分数阶电容的电压和电流关系如下
[0020] iin＝Cαsαvin (1)
[0021] 式中，Cα为分数阶电容的容值，α为分数阶电容的阶数。
[0022] 若该电路的输入电压和逆变器的输出电压已知，可得输入电流的表达式如下[0023]
[0024] 式中，vC为逆变器输出电压，g为电流放大倍数，R为串入的电阻。
[0025] 由(1)式和(2)式可得逆变器的输出为
[0026] vC＝vin-CαsαvinR (3)
[0027] 由于逆变器输出电压vC和数字控制器的输出同相位，幅值成比例，可得数字控制器的输出为
[0028] vM＝(vin-CαRsαvin)/kpwm (4)
[0029] 令1/kpwm＝Ks为电压采样系数，CαR＝Ka为容值调节系数，则进一步得到数字控制器的输出为
[0030] vM＝(KSvin-KSKasαvin) (5)
[0031] 由数字控制器的输出(5)式，并结合(1)(2)(3)(4)式可进一步得到输入电流的表达式为
[0032]
[0033] 其中，分数阶电容的容值Cα＝Ka/R。
[0034] 为了实现对输入电压的分数阶求导，本发明采用oustaloup滤波器，对采样电压进行分数阶近似处理，即：
[0035]
[0036] 式中 K＝(ωh)α，(ωb,ωh)为拟合的频率段，ωb,ωh为该拟合的频率段的两个端值，滤波器的阶数为2N+1。
[0037] 图2是阶数和容值可调的分数阶电容在PSIM下的仿真原理图，其中vS为采样电压，电压采样系数为KS，容值调节系数为Ka，oustaloup滤波器和减法器SUMP构成数字控制器。oustaloup滤波器中的比例环节K对应(7)式中系数K，Hi对应于(7)式中每个k下的S域传递函数
[0038] 设将要构造的分数阶电容的阶数α＝0.2，容值Cα＝1000uF，为了满足电容容值的要求，取Ka＝0.1，R＝100Ω。选取vin为100V/50Hz为交流电压源为输入电压来验证该模型，则相应的电压采样系数ks＝0.01，oustaloup滤波器拟合的频率(0.01Hz,1000Hz)，oustaloup滤波器的阶数中的N取为3，三角载波为1V/10kHz，VDC＝100V，L＝1.5mH，C＝20uF。
[0039] 当vin＝Vsin(2πft)时，结合(6)式可得本发明的分数阶电容电流时域达式为[0040]
[0041] 将上述参数代入(8)式中可得到本组参数下的分数阶电流的时域表达式为[0042] iin＝0.223sin(100πt+0.1π) (9)
[0043] 依照图2的仿真参数搭建阶数和容值可调的分数阶电容的仿真电路，得到0.2阶、1000uF分数阶电容电压vin和电容电流iin的仿真波形如图3所示。依照图2的电路搭建了可调阶数的分数阶电容的实物电路，控制信号由DSP TMS320F28335产生。0.2阶、1000uF分数阶电容电压vin和电容电流iin的实验波形如图4所示。
[0044] 为了进一步说明所构造的分数阶电容可调，本发明改变数字控制器的输入参数：分数阶电容的阶数和容值调节系数Ka，完成交流输入电源100V/50Hz，1.5阶、1uF分数阶电容实验。1.5阶、1uF实验分数阶电容电压vin和电容电流iin的仿真和实验波形分别如图5和图6所示。两组参数下的实验波形和仿真波形一致，验证了本发明电路的可行性和正确性。
