[0001] 本实用新型涉及高等数学教学辅助工具技术领域，具体涉及一种二阶微分方程推导模型，使得大学生在学习微分方程时，更加容易理解。

[0002] 微积分课程对于大部分大学生来说，是苦涩难懂的纯理论课程，但是尽管数学是抽象的、苦涩的，但其来源于生活，有其特定的物理意义。

[0003] 任何数学理论并不是凭空而来的，如微分方程研究的来源极广，历史久远。牛顿和莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y’＝f(x)的求解问题，当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来，牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

[0004] 但是现在的微积分教学，只讲微积分的数学计算公式，抛弃了微积分的具体运用环境，使得大学生对于微积分的理解仅仅停留在数学原理上，即便是学生一时掌握了微积分的计算方法，不将其运用在具体的求解环境中，时间一长也会忘却，另外对于微积分的掌握也不够深刻，不能学以致用，浪费了教育资源，和社会上经世致用的的观点背道而驰。实用新型内容

[0005] 本实用新型提供一种二阶微分方程推导模型，以解决背景技术中提到的高等数学教学只讲数学计算公式，不讲具体数学公式运用环境的技术问题。

[0006] 本实用新型所采用的技术方案是：一种二阶微分方程推导模型，包括有第一安装架、第一电磁铁、滑槽导轨、滑动永磁铁、第二安装架、第二电磁铁，其特征在于：所述的第一电磁铁设置在第一安装架内，第二电磁铁设置在第二安装架内，所述的滑动永磁铁下设置有支腿，所述的支腿安装在滑槽导轨的滑槽内，所述的第一电磁铁极性与滑动永磁铁相对面的极性相同，第二电磁铁极性与滑动永磁铁相对面的极性相同，第一电磁铁极性与第二电磁铁极性极性相反，所述的滑动永磁铁在第一电磁铁和第二电磁铁的斥力作用下，处于滑道中央静止状态，所述的滑槽导轨上设置有刻度线。

[0007] 本使用新型的工作原理为：给滑动永磁铁一个推力，产生相应的加速度，滑动永磁铁在第一、第二电磁铁构成的同极性斥力作用下做往复运动，并在滑槽摩擦力的作用下不断丧失 动能，并最终停留在滑槽导轨的中间初始位置，构成力学平衡公式，磁性斥力与滑槽摩擦力的和等于给永磁铁施加的力，滑动永磁铁的位移相对于作用时间的二阶导数即为加速度，滑动永磁铁的位移相对于时间的一阶导数即为初速度，将相关加速度和速度的导数表达式代入力学平衡式子内，即可得到二阶微分方程。

[0008] 本实用新型的有益效果为：从一个具体的物理力学模型，推导出二阶微分方程，使得大学生牢牢掌握了微积分中相关问题的计算方法，同时也了解了其具体的求解环境，印象深刻，记忆长久。

[0014] 如图1、图2、图3所示的一种二阶微分方程推导模型，包括有第一安装架1、第一电磁铁3、滑槽导轨5、滑动永磁铁6、第二安装架2、第二电磁铁4，其特征在于：所述的第一电磁铁3设置在第一安装架1内，第二电磁铁4设置在第二安装架2内，所述的滑动永磁铁6下设置有支腿6-1，所述的支腿6-1安装在滑槽导轨5的滑槽内，所述的第一电磁铁3极性与滑动永磁铁6相对面的极性相同，第二电磁铁4极性与滑动永磁铁6相对面的极性相同，第一电磁铁3极性与第二电磁铁4极性极性相反，所述的滑动永磁铁6在第一电磁铁3和第二电磁铁4的斥力作用下，处于滑槽导轨5中央静止状态，所述的滑槽导轨5上设置有刻度线。

[0015] 实施例1：构建滑动永磁铁的位移(相对于平衡状态初始位置)与运动时间的关系公式。

[0016] 根据牛顿第二定律，磁性斥力与滑槽摩擦力的和等于给永磁铁施加的力，[0017] 即：-Hs(t)-kmg＝ms″(t)(假设H为磁性斥力常数，Hs(t)表示为滑动永磁铁受到的磁性斥力，k为摩擦系数，kmg为摩擦力，ms″(t)为施加的推力，空气阻力为0)。

[0018] 简单进行整理，即可得到二阶微分方程：

[0019]

[0020] 实施例2：对以上二阶微分方程相关系数进行赋值，向学生展示微分方程求解方法。

[0021] 由题意不妨令H＝1,m＝1，则微分方程 化为

[0022] s″(t)+s(t)＝-kg    (1)

[0023] (1)是二阶常系数非齐次微分方程。为了求方程(1)的解，需先求二阶常系数齐次微分方程

[0024] s″(t)+s(t)＝0    (2)

[0025] 的解。由方程(2)的特征方程r2+1＝0得特征根为λ＝±i。从而(2)的通解为[0026] s(t)＝C1cost+C2sint

[0027] 下面求方程(1)的一个特解s0(t)。由于f(t)＝-kg为常数，故(1)的特解s0(t)为常数，因此s″0(t)＝0，代入(1)得s0(t)＝-kg，从而(1)的通解为

[0028] s(t)＝C1cost+C2sint-kg    (3)

[0029] 对(3)求导得

[0030] s′(t)＝-C1sint+C2cost    (4)

[0031] 设t＝0时，s(0)＝0,s′(0)＝0，代入(3)、(4)式，得C1＝kg，C2＝0，故方程(1)的解为[0032] s(t)＝kgcost-kg

[0033] 实施例3：取消对二阶微分方程 相关系数进行赋值，向学生展示微分方程通解的求解方法。

[0034] 若不令H＝1,m＝1，解法是：

[0035] 将微分方程 变形为

[0036]

[0037] (5)是二阶常系数非齐次微分方程。为了求方程(5)的解，需先求二阶常系数齐次微分方程

[0038]

[0039] 的解。由方程(6)的特征方程 得特征根为 从而(6)的通解为

[0040]

[0041] 下面求方程(5)的一个特解s0(t)。由于f(t)＝-kg为常数，故(5)的特解s0(t)为常数，因此s″0(t)＝0，代入(5)得 从而(5)的通解为

[0042]

[0043] 其导数

[0044]

[0045] 设t＝0时，s(0)＝0,s′(0)＝0，代入(7)、(8)式，得 C2＝0，故方程(5)的解为

[0046]

[0047] 本实用新型从一个具体的物理力学模型，推导出二阶微分方程，进一步对微分方程求解。求解时由浅入深，即先将相关系数取定值，使微分方程化的比较简单，从而引导学生进行求解，最后再向学生展示未化简情况下公式的求解，这样，由简单到复杂的推导过程，使得大学生不仅掌握了微积分的计算方法，也知道其具体的求解环境，记忆深刻，并学以致用。

[0048] 对于本领域的技术人员而言，阅读上述说明后，各种变化和修正无疑将显而易见。因此，所附的权利要求书应看作是涵盖本实用新型的真实意图和范围的全部变化和修正。
在权利要求书范围内任何和所有等价的范围与内容，都应认为仍属本实用新型的意图和范围内。