[0054] (4)对于任意一个跟随星，至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径；
[0055] 本方法包括以下步骤：
[0056] 步骤一：地心惯性坐标系，如图1：原点在地心，OiXi轴沿地球赤道平面与黄道平面的交线，指向春分点γ，OiZi轴指向北极，OiYi轴与OiXi、OiZi轴形成右手旋转坐标系；轨道坐标系，如图2：原点在卫星质心，OoZo轴指向地心方向，OoXo轴在轨道平面上与OoZo轴垂直，指向卫星飞行方向，OoYo轴垂直于轨道平面，与OoXo、OoZo轴形成右手坐标系；轨道坐标系与地心惯性坐标系的相对坐标系，如图3：原点与参考卫星s的质心固连并随其沿轨道运动，X轴与参考卫星的地心矢量rs重合，由地心指向参考卫星s，Y轴rc在参考卫星的轨道面内垂直于X轴，并指向运动方向，Z轴由右手规则确定；
[0057] 建立参考卫星和伴随卫星的相对运动动力学方程；
[0058]
[0059] 式中：x、y、z， 和 分别为伴随卫星与参考卫星在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考卫星的平均角速度 μ为地心引力常数，a为参考卫星沿近圆轨道运动的轨道半径，rc为伴随卫星到地心的距离；fx，fy和fz分别为伴随卫星和参考卫星除地心引力外的其他作用力的合力的加速度矢量之差在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；
[0060] 步骤二：在考虑广义干扰(包括未建模动力学、噪声、环境干扰等)的情况下，卫星编队系统及其参考轨道坐标系如图4，编队卫星i对应伴随卫星，相对参考点对应参考卫星，根据公式(1)，建立卫星编队系统的编队卫星i与相对参考点的相对轨道动力学模型为：
[0061]
[0062] 式中：xi，yi，zi； 和 分别为编队卫星i与参考点在轨道坐标系中的相对位置矢量，相对速度矢量和相对加速度矢量在轨道坐标系的三个坐标轴的分量；n为参考点的平均角速度 μ为地心引力常数，R0为参考点沿近圆轨道运
动的轨道半径，Ri为编队卫星i到地心的距离；moi为编队卫星i的质量，τoi＝[τoix τoiy τoiz]T为作用在编队卫星i上的控制输入；τoix、τoiy、τoiz分别为控制输入在轨道坐标系的三个轴上的分量；τdoi＝[τdoix τdoiy τdoiz]T为广义干扰(包括未建模动力学、噪声、环境干扰等)；τdoix、τdoiy、τdoiz分别为广义干扰在轨道坐标系的三个轴上的分量；
[0063] 将得出的卫星编队系统的编队卫星i相对参考点的相对轨道动力学模型转化为如公式(3)的简化形式，
[0064]
[0065] 其 中pi＝ (x i,yi,zi)T，i1＝ 1,…,N，，
[0066] 设编队卫星i中有N个跟随星、m个领航星；跟随星记为i1，与i1对应的参数的角标均记为i1；领航星记为i2，与i2对应的参数的角标均记为i2；跟随星的数目大于领航星的数目；
[0067] 跟随星i1的相对轨道动力学模型为：
[0068]
[0069] 领航星i2的相对动力学模型为：
[0070]
[0071] 其中 为对应领航星的轨迹的控制输入与外界干扰的总和；
[0072] 步骤三：根据各个编队卫星i的编队形式，对于任意一个跟随星，当至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径，给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵；
[0073] 步骤四：根据步骤二得出的跟随星i1的相对轨道动力学模型(4)，通过步骤三的拓扑结构中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵的运算，设计多动态领航星卫星编队系统的分布式有限时间构形包含控制律，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。
[0074] 具体实施方式二：
[0075] 本实施方式的步骤三给出卫星编队系统的有向图图论中的加权邻接矩阵A及Laplacian矩阵的具体实现过程为：
[0076] νF＝{1,…,N}为跟随星集合，νL＝{N+1,…,N+m}为领航星集合，卫星编队系统的集合为ν＝νL∪νF；
[0077] 编队卫星之间的通讯拓扑用有向图G＝(ν,ε)表示，ν为所有节点组成的集合， 为所有边组成的集合；对于编队卫星i与j，边(νi,νj)∈ε表示编队卫星j能够接收编队卫星i的信息，但反之并不一定成立；节点νi的邻居定义为满足(νj,νi)∈ε关系的所有编队卫星j的集合，表示为Ni＝{νj:(νj,νi)∈ε}；
[0078] 有向图G的加权邻接矩阵A＝[aij]，如果(vj,vi)∈ε那么aij＝1，否则aij＝0；一般假设节点自身不具有连通性，即aii＝0；有向图G的路径是一个有限的节点序列vi1,…,vis，满足(vik,vik+1)∈ε；
[0079] 在有向图G中，若除了一个节点，即根节点外，其余每个节点有且仅有一个父节点，并且存在根节点到达所有节点的有向路径，那么称该有向图G为有向树；包含有向图G所有节点的有向树称为有向图G的有向生成树；有向图G具有有向生成树是指有向图G包含一个为有向生成树的子图；
[0080] Laplacian矩阵表示为L＝[lij]，定义为 和lij＝-aij,i≠j；
[0081] 多领航星卫星编队系统的Laplacian矩阵可写成分块的形式
[0082]
[0083] 式中：L1∈RN×N，L2∈RN×m；
[0084] 定义
[0085] 则
[0086] 如果假设对于任意一个跟随星，至少存在一个领航星有到该跟随星的有向路径成立，那么矩阵 的每个元素都是非负的。
[0087] 其他步骤和参数与具体实施方式一相同。
[0088] 具体实施方式三：
[0089] 本实施方式的步骤四的具体实现过程为：
[0090] 首先定义如下误差函数
[0091]
[0092]
[0093] 式中，j1表示区别于i1的跟随星，与j1对应的参数的角标均记为j1；j2表示区别于i2的领航星，与j2对应的参数的角标均记为j2；
[0094] 选取终端滑模变量
[0095]
[0096] 式中，sig(x)α定义为：sig(x)α＝|x|αsign(x)，sign(i)为符号函数；α,β为实数，并且满足1<α<2,β>0；
[0097] 分布式构形包含控制律设计为：
[0098]
[0099] 式中：i1∈vF,k为实数并且k>0,为跟随星i1的控制输入， 为跟随星j1的控制输入；
[0100] 为所有领航星的时变形式的控制输入的上界信息， 满足 假设所有T
领航星的时变形式的控制输入τoi＝[τoix τoiy τoiz]对所有跟随星都是未知的，但是其上界信息 可以被领航星的相邻跟随星获得； 其中 为未知、有
界的正常数，满足 M是正常数，满足0
[0101] 根据编队卫星中的每个跟随星的分布式构形包含控制律(10)，实现每个跟随星在有限时间内到达领航星形成的构型凸包内，完成编队卫星有限时间构型包含控制。
[0102] 所有跟随星在有限时间内趋于领航星形成的构形闭包内的证明如下：
[0103] 定义如下向量：
[0104]Ω ＝ diag(Ω1,…,ΩN)，
coF＝diag(c o1,…,coN)，coL＝ diag(coN+1,…,coN+m)，
[0105] 选取如下Lyapunov函数：
[0106]
[0107] 对V求导，得到
[0108]
[0109] 其中，终端滑模变量 简记为s，s的导数 及控制律τoi的列向量形式τoF分别为：
[0110]
[0111]
[0112] 又有如下关系式：
[0113]
[0114] 将式(15)代入式(14)控制律可整理得到如下形式：
[0115]
[0116] 将式(13)和式(16)代入式(12)得:
[0117]
[0118] 对式(17)进一步化简得：
[0119]
[0120]
[0121] 通过定义: 得:
[0122] 可知 是可以在有限时间内收敛到0的，即 和 也可以在有限时间内收敛到0；
[0123]
[0124] 由于假设4的存在，则
[0125]
[0126] 同理可得 所有跟随星在有限时间内趋于领航星形成的构形闭包内。
[0127] 其他步骤和参数与具体实施方式一或二相同。
[0128] 实施例
[0129] 仿真验证中，选取如下参数验证本文提出的分布式有限时间构形包含控制律的有效性。
[0130] 8个跟随星(编号为1-8)，5个领航星(编号为9-13)的情况，参考点运行在近圆轨道上，初始轨道根数为：[aeiΔωf]＝[7136.0km 0.001 60° 10° 30° 0°]。其中：a为参考轨道的半长轴，e为偏心率，i为轨道倾角，Δ为升交点赤经，ω为近地点幅角，f为初始时刻的真近点角。
[0131] 跟随星的相对轨道动力学方程为：
[0132]
[0133] 领航星的相对轨道动力学方程为：
[0134]
[0135] 领航星与跟随星之间的通讯拓扑，如图5。
[0136] 跟随星的质量与初始位置，速度与领航星的质量与运动轨迹的信息如表1和表2所示。
[0137] 表1 跟随星的质量，初始位置与速度表
[0138]
[0139] 表2 领航星的质量与运动轨迹表
[0140]
[0141] pi1/m、pi2/m、pi3/m分别是编队系统的编队卫星i的轨迹pi分解在三个坐标轴方向上的轨迹； 分别是领航星i2的轨迹pi分解在三个坐标轴方向上的轨迹；
[0142] 控制参数选取为α＝1.8，k＝0.8，β＝0.1。
[0143] 上界信息选取为 M＝35。
[0144] 跟随星的模型广义干扰选取为：
[0145]
[0146] 在α＝1.8，k＝0.8，β＝0.1时的，仿真结果如图6—12。
[0147] 性能指标定义为：
[0148] (1)精度的定义，通过包含控制的变量的运算 可以得到每个跟随星在包含控制理论上要跟踪的曲线qdi，精度数值定义为
[0149] (2)收敛时间定义为到达所有精度数值中最大值时所需要的时间。
[0150] (3)执行机构积累效果，简称积累效果，定义为： t为收敛时间。
[0151] (4)本发明的收敛时间最小值的计算公式为，
[0152] 非有限时间的滑模选取量为 表3-表5分别针对控制变量法，针对α变化，β,k固定不变；β变化，α,k固定不变；k变化，α,β固定不变的情况给出了性能对比。表6给出了本文的算法与非有限时间的性能对比。
[0153] 表3 β＝0.1，k＝0.8，α变的性能指标对比表
[0154]
[0155] 可以看出在β＝0.1，k＝0.8不变的情况下，随着α的增大，精度变化不大，但是收敛时间逐渐变短又变长，这是由于公式计算收敛时间关于α的项既出现在分母又出现在初值的幂次上的缘故，执行机构积累效果变化不是很明显。
[0156] 表4 α＝1.8，k＝0.8，β变的性能指标对比表
[0157]
[0158] 可以看出在α＝1.8，k＝0.8不变的情况下，随着β的增大精度数值有所降低，但变化不大，收敛时间逐渐减少，这是由于公式计算收敛时间β在分母的位置，随着β的增大，收敛时间变短。同时执行机构积累效果也逐渐增加。
[0159] 表5 α＝1.8，β＝0.1，k变的性能指标对比表
[0160]
[0161] 可以看出k对收敛时间的影响不大，但趋势是减小的。原因在于k在收敛时间的分母部分，随着k的增加，收敛时间变短。积累效果在收敛时间降低的情况下迅速增加，通过增加k的数值而获取更加小的收敛时间，在考虑能耗的情况下是不明智的。
[0162] 表6 本发明与非有限时间的的性能指标对比表
[0163]
[0164] 通过与非有限时间的对比可以发现，在相同的参数情况下本发明的方法，拥有更加短的收敛时间，更加小的精度数值。并且在到达收敛时间时所需要的能耗更少，性能更加好。
